Определение перпендикулярности прямых. Перпендикулярные прямые

Перпендикулярность в пространстве могут иметь:

1. Две прямые

3. Две плоскости

Давай по очереди рассмотрим эти три случая: все относящиеся к ним определения и формулировки теорем. А потом обсудим очень важную теорему о трёх перпендикулярах.

Перпендикулярность двух прямых.

Определение:

Ты можешь сказать: тоже мне, открыли Америку! Но вспомни, что в пространстве всё не совсем так, как на плоскости.

На плоскости перпендикулярными могут оказаться только такие прямые (пересекающиеся):

А вот перпендикулярность в пространстве двух прямых может быть даже в случае если они не пересекаются. Смотри:

прямая перпендикулярна прямой, хотя и не пересекается с нею. Как так? Вспоминаем определение угла между прямыми: чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми и, нужно через произвольную точку на прямой a провести прямую. И тогда угол между и (по определению!) будет равен углу между и.

Вспомнили? Ну вот, а в нашем случае - если окажутся перпендикулярны прямые и, то нужно считать перпендикулярными прямые и.

Для полной ясности давай рассмотрим пример. Пусть есть куб. И тебя просят найти угол между прямыми и. Эти прямые не пересекаются - они скрещиваются. Чтобы найти угол между и, проведём.

Из-за того, что - параллелограмм (и даже прямоугольник!), получается, что. А из-за того, что - квадрат, выходит, что. Ну, и значит.

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Определение:

Вот картинка:

прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем-всем прямым в этой плоскости: и, и, и, и даже! И ещё миллиарду других прямых!

Да, но как же тогда вообще можно проверить перпендикулярность в прямой и плоскости? Так и жизни не хватит! Но на наше счастье математики избавили нас от кошмара бесконечности, придумав признак перпендикулярности прямой и плоскости .

Формулируем:

Оцени, как здорово:

если найдутся всего лишь две прямые (и) в плоскости, которым перпендикулярна прямая, то эта прямая сразу окажется перпендикулярна плоскости, то есть всем прямым в этой плоскости (в том числе и какой-то стоящей сбоку прямой). Это очень важная теорема, поэтому нарисуем её смысл ещё и в виде схемы.

И опять рассмотрим пример .

Пусть нам дан правильный тетраэдр.

Задача: доказать, что. Ты скажешь: это же две прямые! При чём же здесь перпендикулярность прямой и плоскости?!

А вот смотри:

давай отметим середину ребра и проведём и. Это медианы в и. Треугольники - правильные и.

Вот оно, чудо: получается, что, так как и. И далее, всем прямым в плоскости, а значит, и. Доказали. И самым главным моментом оказалось именно применение признака перпендикулярности прямой и плоскости.

Когда плоскости перпендикулярны

Определение:

То есть (подробнее смотри в теме «двугранный угол») две плоскости (и) перпендикулярны, если окажется, что угол между двумя перпендикулярами (и) к линии пересечения этих плоскостей равен. И есть теорема, которая связывает понятие перпендикулярных плоскостей с понятием перпендикулярность в пространстве прямой и плоскости.

Теорема эта называется

Критерий перпендикулярности плоскостей.

Давай сформулируем:

Как всегда, расшифровка слов «тогда и только тогда» выглядит так:

Если, то проходит через перпендикуляр к.

Если проходит через перпендикуляр к, то.

(естественно, здесь и - плоскости).

Эта теорема - одна из самых важных в стереометрии, но, к сожалению, и одна из самых непростых в применении.

Так что нужно быть очень внимательным!

Итак, формулировка:

И снова расшифровка слов «тогда и только тогда». Теорема утверждает сразу две вещи (смотри на картинку):

давай попробуем применить эту теорему для решения задачи.

Задача : дана правильная шестиугольная пирамида. Найти угол между прямыми и.

Решение:

Из-за того, что в правильной пирамиде вершина при проекции попадает в центр основания, оказывается, что прямая - проекция прямой.

Но мы знаем, что в правильном шестиугольнике. Применяем теорему о трёх перпендикулярах:

И пишем ответ: .

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Перпендикулярность двух прямых.

Две прямые в пространстве перпендикулярны, если угол между ними.

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем прямым в этой плоскости.

Перпендикулярность плоскостей.

Плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен.

Критерий перпендикулярности плоскостей.

Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости.

Теорема о трех перпендикулярах:

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

На разработку конструкции прибора инженер тратить достаточно много времени. Изменяя и модифицируя конструкцию прибора. Почему, например, бытовой вентилятор имеет именно такую форму? Конструкция должна быть, такой что бы вентилятор не падал и прочно стоял перпендикулярно полу при работе. Конструкцию этого бытового прибора можно перенести на чертёж.

Пол мы заменим на плоскость α, штангу вентилятора изобразим в виде прямой а, ножки крепления в виде прямых b и с.

Предположим, что если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Докажем предположение.

Рассмотрим нашу прямую а, которая будет перпендикулярна пересекающимся прямым b и с, лежащим в плоскости α. Обозначим точку пересечения прямых-точкой М.

Докажем, что прямая а перпендикулярна плоскости α.

Так как мы знаем, что прямая перпендикулярна плоскости, если перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости, то нам нужно доказать перпендикулярность прямой а произвольной прямой х.

Для доказательства построим дополнительно прямую у, параллельную прямой х и проходящую через точку М.

Дополнительно на прямой а отметим точки М1 и М2 так, чтобы точка М была серединой отрезка М1М2.

Так же проведём прямую в плоскости, пересекающую прямые b, с, у в точках В,С,Y соответственно.

Соединим полученные точки с концами отрезка М1М2. Так как прямые b и с перпендикулярны к прямой а и проходят через середину отрезка М1М2, то их можно назвать серединными перпендикулярами к отрезку М1М2. Тогда точки В и С равноудалены от концов отрезка, то есть отрезок М1В равен отрезку ВМ2, а отрезок М1С равен отрезку СМ2.

Треугольник ВМ1М равен треугольнику ВМ2М по трём сторонам. Из равенства треугольников следует, что угол М1ВY равен углу.

Тогда треугольники М1ВY равен треугольнику М2ВY по двум сторонам и углу между ними. Из равенства этих треугольников следует равенство отрезков М1Y и M2Y.

Это означает что треугольник М1YМ2 равнобедренный с основанием М1М2 и отрезок YМ его медиана, а по свойству медианы равнобедренного треугольника, проведенной к основанию треугольника, отрезок YМ является высотой, значит прямые у и а, содержащие эти отрезки, можно считать перпендикулярными.

Прямая у перпендикулярна прямой а, и параллельна прямой х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой следует, что прямая х также перпендикулярна прямой а.

Итак, прямая а перпендикулярна любой прямой х, значит перпендикулярна плоскости α.

Но в этой теореме возможен ещё один случай расположения прямой а, который не демонстрирует наша конфигурация чертежа. Когда прямая а не проходит через точку пересечения прямых b и с.

Докажем и этот вариант.

В этом случае проведём прямую а1, параллельную прямой а и проходящую через точку М.

Важно вспомнить теорему изученную на предыдущем уроке:

если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.

Так как прямая а перпендикулярна прямым b и с и параллельна прямой а1, то по лемме прямая а1 тоже будет перпендикулярна прямым b и с.

В этом расположении прямых мы уже доказали перпендикулярность прямой к плоскости.

Но тогда если прямая а1 перпендикулярна плоскости и параллельна прямой а, то по теореме 1 прямая а перпендикулярна плоскости α.

Эта теорема даёт возможность доказать перпендикулярность прямой плоскости с указанием перпендикулярности только двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости, а не любой прямой. В геометрии данное утверждение называется признаком перпендикулярности прямой и плоскости.

Рассмотрим применение признака перпендикулярности прямой и плоскости.

Дан треугольник АВС с суммой углов А и В в 90 градусов. Прямая ВD проведена перпендикулярно к плоскости треугольника АВС.

Прямая СD лежит в плоскости треугольника ВСD.

Треугольник АВС прямоугольный, так как угол АСВ равен разности 180 градусов и суммы углов А и В. Значит прямая АС перпендикулярна прямой ВС.

По условию прямая BD перпендикулярна плоскости АВС, значит она перпендикулярна прямой АС.

Тогда прямая АС перпендикулярна двум пересекающимся прямым ВС и ВD лежащим в плоскости треугольника ВСD, значит АС перпендикулярна к плоскости ВСD и перпендикулярна прямой СD лежащей в этой плоскости.

Рассмотри ещё пример решения задачи.

Даны два квадрата АВСD и АВEF.Они расположены так, что бы сторона AD AF.

Так как АВEF- квадрат, то прямая AВ перпендикулярна стороне AF.

Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости АF плоскости квадрата АВСD и прямой ВС лежащей в этой плоскости.

По определению квадрата АВСD сторона ВС перпендикулярна прямой АВ, но прямая АВ параллельна прямой FЕ плоскости АВEF, следовательно по лемме о параллельных прямых перпендикулярных к третьей прямой, прямая FE перпендикулярна прямой ВС.

Таким образом, прямая ВС перпендикулярна пересекающимся прямым АF и FE лежащим в плоскости AEF, что следовательно по признаку перпендикулярности прямой к плоскости, значит прямая ВС перпендикулярна к плоскости AEF.

В дальнейшем с помощью данного признака будут доказаны несколько главных теорем о перпендикулярности прямых и плоскостей в просранстве.

На этом уроке мы повторим теорию и докажем теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости.
В начале урока вспомним определение прямой, перпендикулярной к плоскости. Далее рассмотрим и докажем теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости. Для доказательства этой теоремы вспомним свойство серединного перпендикуляра.
Далее решим несколько задач на перпендикулярность прямой и плоскости.

Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости

Урок: Признак перпендикулярности прямой и плоскости

На этом уроке мы повторим теорию и докажем теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости .

Определение . Прямая а называется перпендикулярной к плоскости α, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Доказательство .

Пусть нам дана плоскость α. В этой плоскости лежат две пересекающиеся прямые p и q . Прямая а перпендикулярна прямой p и прямой q . Нам нужно доказать, что прямая а перпендикулярна плоскости α, то есть, что прямая а перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α.

Напоминание .

Для доказательства нам нужно вспомнить свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Серединный перпендикуляр р к отрезку АВ - это геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка. То есть, если точка С лежит на серединном перпендикуляре р, то АС = ВС .

Пусть точка О - точка пересечения прямой а и плоскости α (рис. 2). Без ограничения общность, будем считать, что прямые p и q пересекаются в точке О . Нам нужно доказать перпендикулярность прямой а к произвольной прямой m из плоскости α.

Проведем через точку О прямую l , параллельно прямой m. На прямой а отложим отрезки ОА и ОВ , причем ОА = ОВ , то есть точка О - середина отрезка АВ . Проведем прямую PL , .

Прямая р перпендикулярна прямой а (из условия), (по построению). Значит, р АВ . Точка Р лежит на прямой р . Значит, РА = РВ .

Прямая q перпендикулярна прямой а (из условия), (по построению). Значит, q - серединный перпендикуляр к отрезку АВ . Точка Q лежит на прямой q . Значит, QА = QВ .

Треугольники АР Q и ВР Q равны по трем сторонам (РА = РВ , QА = QВ, Р Q - общая сторона). Значит, углы АР Q и ВР Q равны.

Треугольники А PL и BPL равны по углу и двум прилежащим сторонам (∠АР L = ∠ВР L, РА = РВ , PL - общая сторона). Из равенства треугольников получаем, что AL = BL .

Рассмотрим треугольник ABL. Он равнобедренный, так как AL = BL. В равнобедренном треугольнике медиана LО является и высотой, то есть прямая LО перпендикулярна АВ .

Мы получили, что прямая а перпендикулярна прямой l, а значит, и прямой m, что и требовалось доказать.

Точки А, М, О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости α, а точки О, В, С и D лежат в плоскости α (рис. 3). Какие из следующих углов являются прямыми: ?

Решение

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна плоскости α, а значит, прямая АО перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α, в том числе прямой ВО . Значит, .

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой ОС , значит, .

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой О D , значит, . Рассмотрим треугольник DAO . В треугольнике может быть только один прямой угол. Значит, угол DAM - не является прямым.

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой О D , значит, .

Рассмотрим угол . Это угол в прямоугольном треугольнике BMO , он не может быть прямым, так как угол МОВ - прямой.

Ответ : .

В треугольнике АВС дано: , АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ - медиана (рис. 4). Через вершину С проведена прямая СК , перпендикулярная к плоскости треугольника АВС , причем СК = 12 см. Найдите КМ .

Решение :

Найдем длину АВ по теореме Пифагора: (см).

По свойству прямоугольного треугольника середина гипотенузы М равноудалена от вершин треугольника. То есть СМ = АМ = ВМ , (см).

Рассмотрим треугольник КСМ . Прямая КС перпендикулярна плоскости АВС , а значит, КС перпендикулярна СМ . Значит, треугольник КСМ - прямоугольный. Найдем гипотенузу КМ из теоремы Пифагора: (см).

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задания 1, 2, 5, 6 стр. 57

2. Дайте определение перпендикулярности прямой и плоскости.

3. Укажите в кубе пару - ребро и грань, которые являются перпендикулярными.

4. Точка К лежит вне плоскости равнобедренного треугольника АВС и равноудалена от точек В и С . М - середина основания ВС . Докажите, что прямая ВС перпендикулярна плоскости АКМ .

Перпендикулярные прямые фигурируют чуть ли не в каждой геометрической задаче. Иногда перпендикулярность прямых известна из условия, а в других случаях перпендикулярность прямых приходится доказывать. Для доказательства перпендикулярности двух прямых достаточно показать, используя любые геометрические методы, что угол между прямыми равен девяноста градусам.

А как ответить на вопрос «перпендикулярны ли прямые», если известны уравнения, задающие эти прямые на плоскости или в трехмерном пространстве?

Для этого следует воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух прямых . Сформулируем его в виде теоремы.

Теорема.

a и b необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой a был перпендикулярен направляющему вектору прямой b .

Доказательство этого условия перпендикулярности прямых основано на определении направляющего вектора прямой и на определении перпендикулярных прямых.

Добавим конкретики.

Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Oxy и заданыуравнения прямой на плоскости некоторого вида, определяющие прямые a и b . Обозначим направляющие векторы прямых а и b как и соответственно. По уравнениям прямых a и b можно определить координаты направляющих векторов этих прямых – получаем и . Тогда, для перпендикулярности прямых a и b необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие перпендикулярности векторов и , то есть, чтобы скалярное произведение векторов и равнялось нулю: .

Итак, a и b в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости имеет вид , где и - направляющие векторы прямых a и b соответственно.

Это условие удобно использовать, когда легко находятся координаты направляющих векторов прямых, а также когда прямым a и b соответствуют канонические уравнения прямой на плоскости или параметрические уравнения прямой на плоскости.

Пример.

В прямоугольной системе координат Oxy заданы три точки . Перпендикулярны ли прямые АВ и АС ?

Решение.

Векторы и являются направляющими векторами прямых АВ и АС . Обратившись к статье координаты вектора по координатам точек его начала и конца, вычисляем . Векторы и перпендикулярны, так как . Таким образом, выполняется необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых АВ и АС . Следовательно, прямые АВ и АС перпендикулярны.

Ответ:

да, прямые перпендикулярны.

Пример.

Являются ли прямые и перпендикулярными?

Решение.

Направляющий вектор прямой , а - направляющий вектор прямой . Вычислим скалярное произведение векторов и : . Оно отлично от нуля, следовательно, направляющие векторы прямых не перпендикулярны. То есть, не выполняется условие перпендикулярности прямых, поэтому, исходные прямые не перпендикулярны.

Ответ:

нет, прямые не перпендикулярны.

Аналогично, необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве имеет вид , где и - направляющие векторы прямых a и b соответственно.

Пример.

Перпендикулярны ли прямые, заданные в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве уравнениями и ?

Решение.

Числа, стоящие в знаменателях канонических уравнений прямой в пространстве, являются соответствующими координатами направляющего вектора прямой. А координатами направляющего вектора прямой, которая задана параметрическими уравнениями прямой в пространстве, являются коэффициенты при параметре. Таким образом, и - направляющие векторы заданных прямых. Выясним, перпендикулярны ли они: . Так как скалярное произведение равно нулю, то эти векторы перпендикулярны. Значит, выполняется условие перпендикулярности заданных прямых.

Ответ:

прямые перпендикулярны.

Для проверки перпендикулярности двух прямых на плоскости существуют другие необходимые и достаточные условия перпендикулярности.

Теорема.

Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимо и достаточно, чтобы нормальный вектор прямой a был перпендикулярен нормальному вектору прямой b .

Озвученное условие перпендикулярности прямых удобно использовать, если по заданным уравнениям прямых легко находятся координаты нормальных векторов прямых. Этому утверждению отвечает общее уравнение прямой вида , уравнение прямой в отрезках и уравнение прямой с угловым коэффициентом .

Пример.

Убедитесь, что прямые и перпендикулярны.

Решение.

По заданным уравнениям прямых легко найти координаты нормальных векторов этих прямых. – нормальный вектор прямой . Перепишем уравнение в виде , откуда видны координаты нормального вектора этой прямой: .

Векторы и перпендикулярны, так как их скалярное произведение равно нулю: . Таким образом, выполняется необходимое и достаточное условие перпендикулярности заданных прямых, то есть, они действительно перпендикулярны.

В частности, если прямую a на плоскости определяет уравнение прямой с угловым коэффициентом вида , а прямую b – вида , то нормальные векторы этих прямых имеют координаты и соответственно, а условие перпендикулярности этих прямых сводится к следующему соотношению между угловыми коэффициентами .

Пример.

Перпендикулярны ли прямые и ?

Решение.

Угловой коэффициент прямой равен , а угловой коэффициент прямой равен . Произведение угловых коэффициентов равно минус единице , следовательно, прямые перпендикулярны.

Ответ:

заданные прямые перпендикулярны.

Можно озвучить еще одно условие перпендикулярности прямых на плоскости.

Теорема.

Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор одной прямой и нормальный вектор второй прямой были коллинеарны.

Этим условием, очевидно, удобно пользоваться, когда легко находятся координаты направляющего вектора одной прямой и координаты нормального вектора второй прямой, то есть, когда одна прямая задана каноническим уравнением или параметрическими уравнениями прямой на плоскости, а вторая – или общим уравнением прямой, или уравнением прямой в отрезках, или уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Пример.

Являются ли прямые и перпендикулярными?

Решение.

Очевидно, - нормальный вектор прямой , а - направляющий вектор прямой . Векторы и не коллинеарны, так как для них не выполняется условие коллинеарности двух векторов(не существует такого действительного числа t , при котором ). Следовательно, заданные прямые не перпендикулярны.

Ответ:

прямые не перпендикулярны.

21. Расстояние от точки до прямой.

Расстояние от точки до прямой определяется через расстояние от точки до точки. Покажем как это делается.

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве задана прямая a и точка M 1 , не лежащая на прямой a . Проведем через точку M 1 прямую b , перпендикулярную прямой a . Обозначим точку пересечения прямых a и b как H 1 . Отрезок M 1 H 1 называется перпендикуляром , проведенным из точки M 1 к прямой a .

Определение.

Расстоянием от точки M 1 до прямой a называют расстояние между точками M 1 и H 1 .

Однако чаще встречается определение расстояния от точки до прямой, в котором фигурирует длина перпендикуляра.

Определение.

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.

Это определение эквивалентно первому определению расстояния от точки до прямой.

Обратите внимание на то, что расстояние от точки до прямой – это наименьшее из расстояний от этой точки до точек заданной прямой. Покажем это.

Возьмем на прямой a точку Q , не совпадающую с точкой M 1 . Отрезок M 1 Q называютнаклонной , проведенной из точки M 1 к прямой a . Нам нужно показать, что перпендикуляр, проведенный из точки M 1 к прямой a , меньше любой наклонной, проведенной из точки M 1 к прямой a . Это действительно так: треугольник M 1 QH 1 прямоугольный с гипотенузой M 1 Q , а длина гипотенузы всегда больше длины любого из катетов, следовательно, .

22. Плоскость в пространстве R3. Уравнение плоскости.

Плоскость в декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением, которое называется общим уравнением плоскости.

Определение. Вектор перпендикулярен плоскости и называется ее нормальным вектором.

Если в прямоугольной системе координат известны координаты трех точек , не лежащих на одной прямой, то уравнение плоскости записывается в виде: .

Вычислив данный определитель, получим общее уравнение плоскости.

Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки .

Решение:

Уравнение плоскости: .

23. Исследование общего уравнения плоскости.

О п р е д е л е н и е 2. Всякий вектор, перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором этой плоскости.

Если известна фиксированная точка M 0 (x 0 , y 0 , z 0), лежащая в данной плоскости, и вектор , перпендикулярный данной плоскости, то уравнение плоскости, проходящей через точкуM 0 (x 0 , y 0 , z 0), перпендикулярно вектору , имеет вид

A (x-x 0)+ B (y-y 0) + C (z-z 0)= 0. (3.22)

Покажем, что уравнение (3.22) является общим уравнением плоскости (3.21). Для этого раскроем скобки и соберем в скобки свободный член:

.Ax + By+ Cz + (-Ax 0 - By -Cz 0)= 0

ОбозначивD = -Ax 0 - By -Cz 0 , получим уравнение Ax + By + Cz + D = 0.

Задача 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А, перпендикулярно вектору , если A (4, -3, 1), B (1, 2, 3).

Решение. Найдем нормальный вектор плоскости :

Для нахождения уравнения плоскости используем уравнение (3.22):

Ответ: -3x + 5y + 2z + 25 = 0.

Задача 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (-1, 2, -1), перпендикулярно оси OZ .

Решение. В качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять любой вектор, лежащий на оси OZ, например, , тогда уравнение плоскости

Ответ: z + 1 = 0.

24. Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости определяется через расстояние от точки до точки, одна из которых заданная точка, а другая – проекция заданной точки на заданную плоскость.

Пусть в трехмерном пространстве задана точка М 1 и плоскость . Проведем через точку М 1 прямую a , перпендикулярную к плоскости . Обозначим точку пересечения прямой a и плоскости как H 1 . Отрезок M 1 H 1 называют перпендикуляром , опущенным из точки М 1 на плоскость , а точку H 1 – основанием перпендикуляра .

Определение.

– это расстояние от данной точки до основания перпендикуляра, проведенного из заданной точки к заданной плоскости.

Чаще встречается определение расстояние от точки до плоскости в следующем виде.

Определение.

Расстояние от точки до плоскости – это длина перпендикуляра, опущенного из заданной точки к заданной плоскости.

Следует отметить, что расстояние от точки М 1 до плоскости , определенное таким образом, является наименьшим из расстояний от заданной точки М 1 до любой точки плоскости . Действительно, пусть точка H 2 лежит в плоскости и отлична от точки H 1 . Очевидно, треугольник М 2 H 1 H 2 является прямоугольным, в нем М 1 H 1 – катет, а M 1 H 2 – гипотенуза, следовательно, . Кстати, отрезок M 1 H 2 называется наклонной , проведенной из точки М 1 к плоскости . Итак, перпендикуляр, опущенный из заданной точки на заданную плоскость, всегда меньше наклонной, проведенной из этой же точки к заданной плоскости.

Если прямая проходит через две заданные точки , то ее уравнение записывают в виде: .

Определение. Вектор называется направляющим вектором прямой, если он параллелен или принадлежит ей.

Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки .

Решение: Используем общую формулу прямой, проходящей через две заданные точки: - каноническое уравнение прямой, проходящей через точки и . Вектор - направляющий вектор прямой.

26. Взаимное расположение прямых в пространстве R3.

Перейдем к вариантам взаимного расположения двух прямых в пространстве.

Во-первых, две прямые могут совпадать, то есть, иметь бесконечно много общих точек (по крайней мере две общие точки).

Во-вторых, две прямые в пространстве могут пересекаться, то есть, иметь одну общую точку. В этом случае эти две прямые лежат в некоторой плоскости трехмерного пространства. Если две прямые в пространстве пересекаются, то мы приходим к понятию угла между пересекающимися прямыми.

В-третьих, две прямые в пространстве могут быть параллельными. В этом случае они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Рекомендуем к изучению статью параллельные прямые, параллельность прямых.

После того как мы дали определение параллельных прямых в пространстве, следует сказать онаправляющих векторах прямой линии в силу их важности. Любой ненулевой вектор, лежащий на этой прямой или на прямой, которая параллельна данной, будем называть направляющим вектором прямой. Направляющий вектор прямой очень часто используется при решении задач, связанных с прямой линией в пространстве.

Наконец, две прямые в трехмерном пространстве могут быть скрещивающимися. Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Такое взаимное расположение двух прямых в пространстве приводит нас к понятию угла между скрещивающимися прямыми.

Особое практическое значение имеет случай, когда угол между пересекающимися или скрещивающимися прямыми в трехмерном пространстве равен девяноста градусам. Такие прямые называют перпендикулярными (смотрите статью перпендикулярные прямые, перпендикулярность прямых).

27. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве R3.

Прямая может лежать на данной плоскости, быть параллельна данной плоскости или пересекать ее в одной точке, см. следующие рисунки.

Если , то это означает, что . А такое возможно лишь тогда, когда прямая лежит на плоскости или параллельна ей. Если прямая лежит на плоскости, то любая точка прямой является точкой плоскости икоординаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению плоскости. Поэтому достаточно проверить, лежит ли на плоскости точка . Если , то точка – лежит на плоскости, а это означает, что и сама прямая лежит на плоскости.

Если , а , то точка на прямой не лежит на плоскости, а это означает, что прямая параллельна плоскости.

Теорема доказана.

Тема урока:

«Перпендикулярные прямые в пространстве»

«Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости».

«Перпендикулярность прямой и плоскости»

Учитель МОУ СОШ №34

г. Комсомольска-на-Амуре

Есина Е.В.

Ввести понятие перпендикулярных прямых в пространстве;
Доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой;
Дать определение перпендикулярности прямой и плоскости;
Доказать теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярности к плоскости.

Каково может быть взаимное расположение двух прямых на плоскости?
Какие прямые в планиметрии называются перпендикулярными?

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Дано: АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 – параллелепипед, угол ВА D равен 30 0 . Найдите углы между прямыми АВ и А 1 D 1 ; А 1 В 1 и А D ; АВ и В 1 С 1 .

В 1

С 1

А 1

D 1

30 0

Модель куба.

Как называются

прямые АВ и ВС?

В пространстве

перпендикулярные прямые

могут пересекаться

и могут скрещиваться.

Найдите угол между

прямыми АА 1 и DC ;

ВВ 1 и А D .

D 1

С 1

В 1

А 1

Перпендикулярные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве

называются перпендикулярными

( взаимно перпендикулярными ),

если угол между ними равен 90 ° .

Обозначается a ┴ b

Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

Рассмотрим прямые АА 1 , СС 1 и DC .

Если одна из параллельных

прямых перпендикулярна

к третьей прямой, то и другая

прямая перпендикулярна

к этой прямой.

АА1 ‌ ‌ ǁ СС 1 ; DC СС 1

D 1

С 1

АА 1 DC

А 1

В 1

Свойства:

1 . Если плоскость перпендикулярна одной

из двух параллельных прямых,
то она перпендикулярна другой
прямой. (a ⊥ α b и a II b = b ⊥ α)

2 . Если две прямые перпендикулярны
одной и той же плоскости,
то они параллельны. (a ⊥ α и b ⊥ α = a II b)

3 . Если прямая перпендикулярна
одной из двух параллельных
плоскостей, то она перпендикулярна
и другой плоскости. (α II β и a ⊥ α = a ⊥ β)

a II β)" width="640"

Свойства:

4 . Если две различные плоскости
перпендикулярны одной и той же прямой,
то эти плоскости параллельны.
(a ⊥ α и a ⊥ β = a II β)

5. Через любую точку пространства можно
провести прямую, перпендикулярную
данной плоскости, и притом только одну.

6. Через любую точку прямой можно
провести плоскость, перпендикулярную ей
и притом только одну.

Найдите угол между прямой АА 1 и прямыми плоскости (АВС): АВ, А D , АС, В D , М N .

Прямая называется

перпендикулярной к плоскости,

если она перпендикулярна к

любой прямой, лежащей

в этой плоскости.

90 0

D 1

С 1

90 0

В 1

А 1

90 0

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Дано: прямая а параллельна прямой а 1 и

перпендикулярна плоскости α .

Доказать: а 1 α

а 1

Обратная теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

b 1

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Применение признака перпендикулярности прямой и плоскости. Дан куб. Определи, какая из перечисленных в ответе прямых перпендикулярна названной плоскости?

а) плоскости (ABC) перпендикулярна B1C1, AC1, BD1, AC, AA1, BD, AB

б) плоскости (BDD1) перпендикулярна AC, AA1, B1C1, AC1, AB, BD1, BD

Две прямые, перпендикулярные одной плоскости.

Прямая PQ параллельна плоскости α.

От точек P и Q к плоскости проведены прямые PP1⊥α и QQ1⊥α. Известно, что PQ=PP1=19,8 см.

Определи вид четырехугольника PP1Q1Q и найди его периметр.

2. PPP1Q1Q= см

Перпендикулярность прямой к плоскости.

Проведенная к плоскости перпендикулярная прямая пересекает плоскость в точке O.

На прямой отложен отрезок AD, точка O является серединной точкой этого отрезка.

Определи вид и периметр треугольника ABD, если AD= 24 см, а OB= 5 см (ответ округли до одной десятой).

Прямые, перпендикулярные к плоскости.

Две прямые образуют прямой угол с плоскостью α.

Длина отрезка KN= 96,5cм, длина отрезка LM= 56,5 см.

Рассчитай расстояние NM, если KL=41 см.

Перпендикуляр к плоскости квадрата.

К плоскости квадрата ABCD со стороной 7 см через точку пересечения диагоналей O проведена прямая, перпендикулярная плоскости квадрата.

На прямой отложен отрезок OK длиной 5 см.

Рассчитай расстояние от точки K к вершинам квадрата (результат округли до одной десятой).

Доказательство перпендикулярности скрещивающихся прямых.

Известно, что в тетраэдре DABC ребро DA

перпендикулярно ребру BC.

На ребрах DC и DB расположены

серединные точки K и L.

Докажи, что DA перпендикулярно KL.

Так как K и L - серединные точки DC и DB,

то KL -…… треугольника CBD.

2. Средняя линия ….. третьей стороне треугольника, то есть BC.

Если DA перпендикулярна одной из …… прямых, то она ….. и другой прямой.

Признак перпендикулярности прямой к плоскости.

В тетраэдре DABC точка M серединная точка ребра CB.

Известно, что в этом тетраэдре AC=ABDC=DB

Докажи, что прямая, на которой находится ребро CB, перпендикулярна плоскости (ADM).

1. Определи вид треугольников.

2. Какой угол образует медиана с основанием этих треугольников?

Ответ: градусов.

3. Согласно признаку, если прямая к прямым в некой плоскости, то она к этой плоскости.

Свойство прямой перпендикулярной к плоскости.

Через вершину прямого угла C к плоскости прямоугольного треугольника ABC проведена перпендикулярная прямая KC.

Точка D - серединная точка гипотенузы AB.

Длина катетов треугольника AC = 48 мм и BC = 64 мм.

Расстояние KC = 42 мм. Определи длину отрезка KD.

(сложное) Доказательство от противного.

Прямая d перпендикулярна плоскости α и прямой m, которая не лежит в плоскости α.
Докажи, что прямая m параллельна плоскости α.

1. Согласно данной информации, если прямая не лежит в плоскости, она может или быть …плоскости, или … плоскость.

2. Допустим, что прямая m не ….., а …..плоскость α.

3. Если прямая d по данной информации перпендикулярна плоскости α, то она …… каждой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой, которая проведена через точки, в которых плоскость пересекает прямые d и m.

4. Мы имеем ситуацию, когда через одну точку к прямой d проведены две …… прямые.

5. Это противоречие, из чего следует, что прямая m….. плоскости α, что и требовалось доказать.